En el álgebra abstracta, un subconjunto S de un campo L es algebraicamente independiente sobre un subcuerpo K si los elementos de S no satisfacen ninguna ecuación polinómica no-trivial con coeficientes in K. Esto significa que para toda secuencia finita ?1, ..., ?n de elementos de S, no siendo dos idénticas, y todo polinomio distinto de cero P(x1, ..., xn) con coeficientes en K, tenemos
En particular, un conjunto de un elemento {?} es algebraicamente independiente sobre K si y sólo si ? es transcendente sobre K. En general, todos los elementos de un conjunto algebraicamente independiente sobre K son necesariamente trascendentes sobre K, pero eso está lejos de ser una condición suficiente.
Por ejemplo, el subconjunto {??, 2?+1} de los reales R no es algebraicamente independiente sobre los racionales Q, dado que el polinomio distinto de cero
resulta cero cuando ?? es sustituído por x1 y 2?+1 es sustituído por x2.
El teorema de Lindemann-Weierstrass puede frecuentemente ser usado para probar que algunos conjuntos son algebraicamente independientes sobre . Enuncia que cuando ?1,...,?n son números algebraicos que sean linealmente independientes sobre Q, entonces e?1,...,e?n son algebraicamente independientes sobre Q.
No se conoce si el conjunto {?, e} es algebraicamente independiente sobre Q. Nesterenko probó en 1996 que {?, e?, ?(1/4)} es algebraicamente independiente sobre Q.
Dada una Extensión de cuerpo L/K, podemos usar el lema de Zorn para mostrar que siempre existe un máximo subconjunto algebraicamente independiente de L sobre K. Más aún, todos los máximos subconjuntos algebraicamente independientes tienen la misma cardinalidad, conocida como grado de trascendencia de la extensión.
